SPLDV ( sistem persamaan linear dua variabel )

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c 
dimana = x dan y adalah variabel

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c
px + qy = d
dimana: x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6 
    x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9 
                                  5x = 15
                                    x = 15/5
                                    x = 3
Langkah II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
    x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
                                 5y = 0
                                   y = 0/5
                                   y = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

2.   Metode Substitusi

Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 ! 
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:
        2x + 3y = 6 
<=> 2 (y + 3) + 3y = 6 
<=>     2y + 6 + 3y = 6 
<=>             5y + 6 = 6
<=>       5y + 6 – 6 = 6 – 6
<=>                   5y = 0
<=>                     y = 0
Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
             x = y + 3 
<=> x = 0 + 3
<=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}

3.  Metode Gabungan
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh:
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaian:
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.
    2x - 5y = 2 ×1 2x - 5y = 2
     x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
                                  -15y = -10
                                       y = (-10)/(-15)
                                       y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
             x + 5y = 6
<=> x + 5 (2/3) = 6
<=>   x + 10/15 = 6
<=>                 x = 6 – 10/15
<=>                 x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}