A. Teorema Pythagoras
Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c
2 = a
2 + b
2Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a
2 = c
2 – b
2b
2 = c
2 – a
2Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras : a
2 = b
2 + c
2Turunannya : b
2 = a
2 – c
2 c
2 = a
2 – b
2B. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-sikuContoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC
2 = AC
2 + AB
2BC
2 = 3
2 + 4
2BC
2 = 9 + 16
BC
2 = 25
BC = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC
2 = AB
2 + BC
220
2 = (4x)
2 + (3x)
2400 = 16x
2 + 9x
2\400 = 25x
216 = x
2= x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU
2 = OB
2 + UB
2OU
2 = 80
2 + 60
2OU
2 = 6.400 + 3.600
OU
2 = 10.000
OU = 100 km
C. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras1. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a
2= b
2 + c
2.
Dalam ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a
2 = b
2 + c
2 maka ABC siku-siku di A.
Jika b
2 = a
2 +c
2 maka ABC siku-siku di B.
Jika c
2 = a
2 + b
2 maka ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a
2 = b
2 + c
2 maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a
2 > b
2 + c
2 maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a
2 < b
2 + c
2 maka ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a
2 = 8
2 = 64
b
2 + c
2 = 7
2 + 5
2b
2 + c
2 = 49 + 25
b
2 + c
2 = 74
karena a
2 < b
2 + c
2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a
2 = 12
2 = 144
b
2 + c
2 = 7
2 + 8
2b
2 + c
2 = 49 + 64
b
2 + c
2 = 113
karena a
2 > b
2 + c
2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 5
2 = 4
2 + 3
2
